cos(π/7)=x とおき、xについての係数が整数の多項式を求めてみよう。


三角関数で、nが整数のとき、

cos(2n+1)π=-1

が成り立つ。


ここで、7θ=(2n+1)πとしてみよう。

そうすると、

θ=(2n+1)π/7 になり、n=0のときは、θ=π/7になるから、


cos(π/7)、cos(3π/7)、cos(5π/7)、cos(7π/7)、cos(9π/7)、cos(11π/7)、cos(13π/7)

を解とする方程式を考えればいいことがわかる。


しかし、

cos(π/7)=cos(13π/7)

cos(3π/7)=cos(11π/7)

cos(5π/7)=cos(9π/7)

だから、結局、cos(π/7)、cos(π/7)、cos(5π/7),cos(7π/7)


の4つを実数解とした4次方程式をつくればいい。


7θ=π より、

3θ+4θ=π

3θ=π-4θ


両辺のcosをとると、

cos(3θ)=cos(π-4θ)=-cos(4θ)

が成り立つ。

3倍角と2倍角の公式を使って、

cos(3θ)=4cos^3θ-3cosθ

cos(4θ)=2(cos2θ)^2-1=2(2cos^2θ-1)^2-1=8cos^4θ-8cos^2θ+1

よって、

8cos^4θ-8cos^2θ+1=-4cos^3θ+3cosθ

が成り立つ。

ここで、cosθ=xとおくと、

8x^4-8x^2+1=-4x^3+3x

8x^4+4x^3-8x^2-3x+1=0

(x+1)(8x^3-4x^2-4x+1)=0


よって、x=cos(π/7)、cos(3π/7)os(5π/7) は、

3次方程式

8x^3-4x^2-4x+1=0

の解がである。


θ=(2n+1)π/7

だったので、n=0,1,2として


8x^3-4x^2-4x+1=0 の3つの実数解が、

x=cos(π/7)、cos(3π/7)、cos(5π/7) である。


である。


また、このとき、


8x^3-4x^2-4x+1=0

x^3-(1/2)x^2-(1/2)x+1/8=0

で、3次方程式の解と係数の関係より、


cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7)=1/2

cos(π/7)cos(3π/7)+cos(3π/7)cos(5π/7)+os(5π/7)cos(7π/7)=-1/2

cos(π/7)cos(3π/7)cos(5π/7)=-1/8

も成り立つ。


cos(π/7)、cos(3π/7)、cos(5π/7) を冪根の形で求めてみる。

8x^3-4x^2-4x+1=0の解を求める。


t+1/6=x として、


8(t+1/6)^3-4(t+1/6)^2-4(t+1/6)+1=0

8t^3-14t/3+7/27=0


t=u+v


8(u+v)^3-14/3(u+v)+7/27=0

8(u^3+v^3+3uv(u+v))-14/3(u+v)+7/27=0

8(u^3+v^3)+7/27+24uv(u+v)-14/3(u+v)=0

8(u^3+v^3)+7/27+(u+v)(24uv-14/3)=0


u^3+v^3=-7/216

uv=7/36

u^3v^3=343/46656


x^2+7/216x+343/46656=0


u^3=-7/432+7√3i/144

=(1/12)^3(28)(-1+3√3i)


よって、

u=(1/12)∛(28(-1+3√3i))

v=(1/12)∛(28(-1-3√3i))


ω=-1/2+√3i/2

ω^2=-1/2-√3i/2


とすると、


u+v=(1/12)∛(28(-1+3√3i))+(1/12)∛(28(-1-3√3i))

x=1/6+(1/12)∛(28(-1+3√3i))+(1/12)∛(28(-1-3√3i))



以上より、


cos(π/7)=1/6+(1/12)∛(28(-1+3√3i))+(1/12)∛(28(-1-3√3i))

cos(3π/7)=1/6+(1/12)∛(28(-1+3√3i))ω^2+(1/12)∛(28(-1-3√3i))ω

cos(5π/7)=1/6+(1/12)∛(28(-1+3√3i))ω+(1/12)∛(28(-1-3√3i))ω^2